\begin{exo} Calculer le gradient et le laplacien des fonctions
	sur $\RR^2$ à valeur dans $\RR$ d\'efinies par
	$$\begin{array}{rl}
		\forall (x,y)\in \RR^2,& f(x,y)=x^2+y^2 \\
		&\\
		\forall (x,y)\in \RR^2\setminus\{(0,0)\},&
		\displaystyle g(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}.
	\end{array}$$
	Refaire le calcul en coordonn\'ees polaires.

	%
	%
	%
	%
	%-----------
	\begin{correction}

		$$\begin{array}{l}
			\displaystyle ({\rm grad} \ f)(x,y)=2x\  {\bf i}+ 2y\  {\bf j}=2r\ {\bf u_r},
			\hspace{2cm} \Delta f(x,y)=4.\\
			\displaystyle ({\rm grad} \ g)(x,y)=\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}\  {\bf i}
			-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}\  {\bf j}=
			-\frac{\sin \theta}{r}\  {\bf u_{\theta}},\\
			\displaystyle \Delta g(x,y)=-\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}=-\frac{\cos \theta}{r^2}.
		\end{array}$$

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
\begin{exo}  Calculer la divergence et le rotationnel des champs de vecteurs suivants
	$$\begin{array}{rl}
		\forall (x,y,z)\in \RR^3, & V(x,y,z)=2x e^{2z} \sin y \ {\bf i} +
		x^2 e^{2z} \cos y \  {\bf j} + 2x^2 e^{2z} \sin y \ {\bf k}\\
		\forall (r,\theta,z), r>0,&
		W(r,\theta,z)=
		r\sin \theta  \ {\bf u_r} + r \cos \theta \
		{\bf u_{\theta}} + z \  {\bf k}
	\end{array}$$

	%

	\noindent %-----------
	\begin{correction}

		$$\begin{array}{ll}
			{\rm div} \  V(x,y,z)=(2+3x^2) e^{2z} \sin y,&\\
			{\rm rot} \ V=0 & \mbox{(V est un champ de gradient)}.\\
			{\rm div}\ W(r,\theta,z)= \sin \theta +1, &
			{\rm rot}\ W(r,\theta,z)=\cos \theta \ {\bf k}
		\end{array}$$


	\end{correction}
\end{exo}
%=============
\begin{exo} Soient $f:\RR^3\rightarrow \RR$
	et $V:\RR^3 \rightarrow \RR^3$ une fonction r\'eelle et
	un champ de vecteurs de classe $\mathcal{C}^2$ sur
	$\RR^3$. Montrer
	$$\begin{array}{lcl}
		{\rm div}(fV) & = & f \ {\rm div}V + {\rm grad}f.V\\
		{\rm div}({\rm grad} f ) & = & \Delta f\\
		{\rm rot}({\rm grad}f)& = &0.
	\end{array}$$


	\noindent %-----------
	\begin{correction}

		$$\begin{array}{lcl}
			{\rm div}(fV)& = & \displaystyle \frac{\partial (f.V_1)}{\partial x}+
			\frac{\partial (f.V_2)}{\partial y}+ \frac{\partial (f.V_3)}{\partial z}\\
			& = & \displaystyle \left( \frac{\partial f}{\partial x}.V_1+
			\frac{\partial f}{\partial y}.V_2+ \frac{\partial f}{\partial z}.V_3\right)+
			f.\left( \frac{\partial V_1}{\partial x}+
			\frac{\partial V_2}{\partial y}+ \frac{\partial V_3}{\partial z}\right). \\
			\displaystyle {\rm div}({\rm grad} f ) & = &  \displaystyle
			\frac{\partial}{\partial x}
			\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)+
			\frac{\partial}{\partial y}
			\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)+
			\frac{\partial}{\partial z}
			\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right).\\
			{\rm rot}({\rm grad}f)& = &\displaystyle
			\left(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} -
			\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y}\right) {\bf i}
			+ \left(\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} -
			\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\right) {\bf j}
			+\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} -
			\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\right) {\bf k}\\
			& = & 0.
		\end{array}$$


	\end{correction}
\end{exo}
%=============
\begin{exo} Pour tout r\'eel $\alpha\in \RR$, on d\'efinit la fonction
	$f_{\alpha}:\RR^3\rightarrow \RR$ par
	$$\forall (x,y,z)\in \RR^3\setminus\{(0,0,0)\}, \
	f_{\alpha}(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^{\alpha}.$$
	D\'eterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $\Delta f_{\alpha} =0$.


	\noindent %-----------
	\begin{correction}

		$\Delta f_{\alpha}(x,y,z) = 2\alpha (2 \alpha +1)(x^2+y^2+z^2)^{\alpha -1}.$
		On en d\'eduit que le laplacien de $f_{\alpha}$
		est identiquement nul pour $\alpha=0$ et
		pour $\alpha=-\frac{1}{2}.$\vspace*{5mm}\\
		%
		Attention : faire le calcul \`a part pour $\alpha=0$ et $\alpha=1$.

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
\begin{exo}
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\Gamma\subset \RR^2$ une courbe ferm\'ee simple d\'elimitant
			un domaine $\mathcal{D}$ d'aire $A$. Montrer à l'aide de la formule de
			Green-Riemann que
			$$A=\frac{1}{2}\int_{\Gamma}x\ dy - y \ dx.$$
		\item En d\'eduire l'aire limit\'ee par l'ellipse d\'efinie par
			$$\left\{ \begin{array}{lcll}
				x& =  & a \cos \theta & \mbox{avec }0\leq \theta \leq 2\pi. \\
				y&=& b \sin \theta&
			\end{array}\right.$$
	\end{enumerate}
	%
	%-----------
	\begin{correction}

		\begin{enumerate}
			\item Se d\'eduit du th\'eor\`eme de Green-Riemann avec $Q(x,y)=\frac{x}{2}$ et
				$P(x,y)=-\frac{y}{2}$.
			\item $$A=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(ab \cos^2\theta + ab\sin^2
				\theta \right) \ d\theta=ab\pi.$$
		\end{enumerate}

	\end{correction}
\end{exo}
%=============


